Geometrien des Faktorisierungsproblems: Ein analytischer Zugang über KQ-Gruppen
Zur funktionalen Nutzbarmachung strukturierter Gruppierungsräume für Faktorisierungsfragen
Worum es in dieser Arbeit geht
Die Arbeit „Geometrien des Faktorisierungsproblems: Ein analytischer Zugang über KQ-Gruppen“ untersucht, ob sich Eigenschaften semiprimer Zahlen mit den zuvor entwickelten KQ-Strukturen nicht nur beschreiben, sondern auch funktional nutzen lassen.
Im Mittelpunkt stehen Zahlen der Form
N = p · q
mit zwei verschiedenen Primfaktoren p < q.
Während klassische Faktorisierungsverfahren versuchen, aus dem Produkt N seine unbekannten Faktoren zu bestimmen, beginnt diese Untersuchung mit einer anderen Perspektive: Welche strukturelle Lage besitzt ein semiprimes N innerhalb der KQ-Gruppen, und welche Informationen über p und q sind möglicherweise bereits in dieser Lage enthalten?
Aus dieser Analyse ergibt sich eine klar abgrenzbare Klasse semiprimer Zahlen, bei denen sich der größere Primfaktor q deterministisch und ohne iterative Suche direkt aus N bestimmen lässt. Diese Klasse wird im Paper als SPeQ-Semiprimes bezeichnet.
Vom KQ-Strukturraum zum Faktorisierungsproblem
Die KQ-Gruppenstruktur wurde ursprünglich nicht als Faktorisierungsverfahren entwickelt. Parameter wie Tq, Tp, GP und SP entstanden im Verlauf der systematischen Untersuchung der inneren Gruppenstruktur natürlicher Zahlen.
Gerade der Parameter SP erwies sich dabei als besonders interessant. Er beschreibt innerhalb von KQ den Abstand eines N-Werts zu seinem zugehörigen quadratischen Zentrum.
Bei der gezielten Untersuchung semiprimer Zahlen zeigte sich, dass bestimmte Produkte eine außergewöhnlich klare Konstellation besitzen: Ihre Primfaktoren p und q liegen symmetrisch um das strukturelle Zentrum des Produkts, während SP genau das Quadrat dieses Abstandes beschreibt.
Damit wurde aus einem ursprünglich zur Positionsbeschreibung eingeführten KQ-Parameter plötzlich eine Größe, aus der sich unmittelbar ein Primfaktor rekonstruieren lässt.
Die Arbeit entstand deshalb aus der Frage, ob KQ mehr leisten kann als Klassifikation und Strukturvermessung, nämlich ob sich die darin sichtbaren geometrischen Beziehungen für konkrete Faktorisierungsfragen verwenden lassen.
Die Symmetrie semiprimer Faktoren
Für ein Semiprime
N = p · q
lässt sich der arithmetische Mittelpunkt seiner beiden Faktoren als
M = (p + q) / 2
und der halbe Faktorabstand als
d = (q – p) / 2
schreiben.
Daraus folgt unmittelbar die Quadratdifferenz
M² – N = d²
beziehungsweise
N = M² – d²
Das Produkt N liegt damit exakt um den quadratischen Abstand d² unterhalb des Quadrats seines Faktormittelpunkts.
Je näher p und q beieinanderliegen, desto näher befindet sich N an diesem Quadrat. Mit wachsender Faktorendifferenz entfernt sich das Produkt entsprechend weiter von seinem Mittelpunktquadrat.
Diese elementare Beziehung bildet die geometrische Grundlage der im Paper untersuchten SPeQ-Struktur.
Was ein SPeQ-Semiprime auszeichnet
Bei den als SPeQ-Semiprimes bezeichneten Zahlen fällt die Faktorensymmetrie mit einer speziellen KQ-Konstellation zusammen.
Das semiprime N liegt dabei in KQ auf der linken Seite seines Quadratzentrums, also in einer NL-Lage, und der zugehörige SP-Wert ist eine echte Quadratzahl.
Damit gilt
SP = Tq² – N
und zugleich
q = Tq + √SP
Der größere Primfaktor q ergibt sich also direkt aus dem strukturellen Zentrum Tq und dem Quadratabstand SP.
Entsprechend liegt der kleinere Faktor symmetrisch auf der anderen Seite:
p = Tq – √SP
Der KQ-Parameter SP beschreibt in diesen Fällen somit nicht lediglich die Position des Produkts innerhalb seiner Gruppe. Seine Quadratwurzel entspricht exakt dem Abstand der beiden Primfaktoren vom gemeinsamen Zentrum.
Ein einfaches Beispiel
Ein im Paper verwendetes Beispiel ist
N = 391 = 17 · 23
Für diesen Wert ergibt die KQ-Analyse
Tq = 20
und
SP = 9
Damit ist
√SP = 3
und folglich
p = 20 – 3 = 17
q = 20 + 3 = 23
Die beiden Primfaktoren liegen also exakt symmetrisch um das Zentrum 20.
Gerade diese einfache Konstellation machte sichtbar, dass SP innerhalb bestimmter semiprimer Zahlen nicht nur ein abstrakter KQ-Abstandsparameter ist, sondern unmittelbar die Faktorendifferenz kodiert.
Reduktion auf eine elementare Quadratdifferenz
Eine wichtige Erkenntnis der Arbeit besteht darin, dass die zunächst innerhalb von KQ gefundene Beziehung anschließend vollständig von der KQ-Terminologie getrennt werden kann.
Für die gültigen SPeQ-Fälle gilt
V = ⌊√N⌋ + 1
und damit
SP = V² – N
Der größere Primfaktor ergibt sich folglich direkt als
q = V + √(V² – N)
Der kleinere Faktor entsprechend als
p = V – √(V² – N)
Damit reduziert sich die innerhalb von KQ entdeckte Struktur auf eine elementare Quadratdifferenzrelation.
KQ bleibt für den Entdeckungsweg und die strukturelle Interpretation wichtig. Die eigentliche Berechnung benötigt nach dieser Reduktion jedoch keine KQ-spezifischen Begriffe mehr.
Die Grenze der Symmetriebindung
Nicht jedes Semiprime gehört zur SPeQ-Klasse.
Entscheidend ist, wie weit die beiden Primfaktoren p und q auseinanderliegen. Wird ihre Differenz zu groß, fällt N nicht mehr in denjenigen unmittelbaren Quadratbereich, in dem das aufgerundete √N zugleich dem arithmetischen Faktormittelpunkt entspricht.
Aus der Beziehung
N = M² – d²
lässt sich für diesen Übergang eine Größenordnung ableiten, bei der die zulässige Faktorendifferenz ungefähr mit
q – p = O(N^(1/4))
wächst.
Die Klasse der SPeQ-Semiprimes ist damit kein beliebig definierter Ausschnitt. Ihre Grenze entsteht aus der geometrischen Bindung des Produkts an das Quadrat des gemeinsamen Faktormittelpunkts.
Die Testreihen
Um diese Grenze empirisch zu untersuchen, wurden große Mengen künstlich erzeugter Primfaktorpaare verwendet. Aus den bekannten p- und q-Werten wurden semiprime N-Werte gebildet und anschließend ausschließlich über die aus N bestimmten Strukturparameter untersucht.
Besonders ausführlich wurden Semiprimes mit Größen von 2048 Bit und 4096 Bit betrachtet.
Die Faktorabstände wurden dabei systematisch variiert. In größeren Bereichen erfolgte die Untersuchung zunächst in gröberen Bitintervallen. In der Nähe der beobachteten Übergänge wurden anschließend einzelne Bitstufen geprüft, um die Grenze möglichst genau zu bestimmen.
Für 2048-Bit-Werte zeigte sich ein deutlich ausgeprägter Übergangsbereich bei einer Faktorendifferenz von ungefähr 513 Bit.
Bei 4096-Bit-Werten lag der entsprechende Übergang ungefähr bei 1025 Bit.
Innerhalb des gültigen Bereichs lieferte die Beziehung für die untersuchten Fälle den vollständigen Primfaktor q. Direkt nach dem Übergang brach die Zahl der noch übereinstimmenden Stellen deutlich ein.
Damit zeigte sich in den Testreihen kein allmähliches Verschwimmen der Struktur, sondern ein klar erkennbarer Wechsel zwischen vollständiger Rekonstruktion und nur noch partieller numerischer Übereinstimmung.
Strukturmerkmale der erfolgreichen Fälle
Die Testreihen zeigten noch eine weitere Gemeinsamkeit.
Alle vollständig erfolgreichen SPeQ-Fälle lagen innerhalb der KQ-Struktur auf der NL-Seite ihres jeweiligen Quadratzentrums und besaßen einen SP-Wert, der eine exakte Quadratzahl war.
Genau diese Kombination bildet die strukturelle Signatur der untersuchten Klasse:
NL-Lage
SP ist Quadratzahl
√SP entspricht dem Faktorabstand vom Zentrum
q = Tq + √SP
Die SPeQ-Semiprimes erscheinen damit innerhalb von KQ als besonders klar abgegrenzte Teilstruktur des semiprimen Produktraums.
Verhältnis zur Fermat-Methode
Die spätere Reduktion auf die Quadratdifferenzform macht zugleich deutlich, dass die SPeQ-Beziehung eng mit der klassischen Fermat-Faktorisierung verbunden ist.
Auch Fermat beginnt bei der nach oben gerundeten Quadratwurzel eines ungeraden N und untersucht, ob sich die Differenz zwischen diesem Quadrat und N als Quadrat darstellen lässt.
Für SPeQ-Semiprimes ist genau diese Bedingung bereits beim ersten untersuchten Quadrat erfüllt.
Mit
a = ⌈√N⌉
gilt unmittelbar
q = a + √(a² – N)
und
p = a – √(a² – N)
In der Terminologie des Papers sind SPeQ-Semiprimes damit genau jene semiprimen Zahlen, die von der Fermat-Methode bereits ohne zusätzliche Iterationsschritte, also unmittelbar am Startpunkt, zerlegt werden.
Dieser Zusammenhang ist für die Einordnung der Arbeit wichtig. SPeQ stellt keine allgemeine neue Faktorisierungsmethode neben Fermat dar. Die besondere Leistung der KQ-Analyse liegt vielmehr darin, diese Semiprime-Klasse innerhalb eines unabhängigen Strukturmodells sichtbar gemacht, strukturell charakterisiert und anschließend auf ihre elementare Quadratdifferenzform zurückgeführt zu haben.
Laufzeit innerhalb der gültigen Klasse
Innerhalb der SPeQ-Klasse ist die eigentliche Berechnung sehr kurz.
Für ein gegebenes N werden die notwendigen Strukturparameter beziehungsweise in der reduzierten Form lediglich eine Quadratwurzel, eine Quadratdifferenz und eine weitere Quadratwurzel benötigt.
In den im Paper dokumentierten Python-Tests lagen die gemessenen Berechnungszeiten für gültige 4096-Bit-Werte typischerweise ungefähr im Bereich von 0,05 bis 0,1 Millisekunden.
Diese Geschwindigkeit ist allerdings nicht mit einer allgemeinen schnellen Faktorisierung beliebiger Semiprimes gleichzusetzen. Sie ergibt sich gerade daraus, dass bei einem SPeQ-Semiprime bereits bekannt ist, dass die gesuchte Quadratdifferenz unmittelbar am ersten quadratischen Oberwert vorliegt.
Was die Arbeit nicht behauptet
Die untersuchte Relation löst nicht das allgemeine Faktorisierungsproblem.
Insbesondere Semiprimes mit weit auseinanderliegenden Primfaktoren verlassen die für SPeQ notwendige Symmetriebindung. Die im Paper beschriebene direkte Berechnung ist dann nicht mehr gültig.
Auch sogenannte Fermat-sichere Semiprimes werden mit dieser Methode nicht allgemein faktorisierbar.
Die Arbeit verfolgt daher ein engeres Ziel: Sie zeigt anhand einer konkret bestimmbaren Klasse, dass die KQ-Gruppenstruktur Eigenschaften semiprimer Zahlen sichtbar machen kann, die sich anschließend als exakte analytische Beziehungen formulieren lassen.
SPeQ ist somit vor allem ein Beispiel dafür, dass die innerhalb von KQ vergebenen Strukturparameter nicht lediglich beschreibende Metadaten sein müssen, sondern unter bestimmten Bedingungen unmittelbar mit klassischen arithmetischen Eigenschaften eines N-Werts verbunden sind.
Warum dieses Paper entstanden ist
Nach der Entwicklung von KQ und KFS stellte sich zunehmend die Frage, ob die dort sichtbar werdenden Positionen, Zentren und Abstandsparameter auch zur Analyse konkreter mathematischer Probleme eingesetzt werden können.
Das Faktorisierungsproblem bot hierfür einen naheliegenden Testbereich, weil bei einem Semiprime die beiden unbekannten Primfaktoren eine besonders klare innere Beziehung zum Produkt N besitzen.
Die Entdeckung der SPeQ-Struktur entstand nicht aus der Vorgabe, Fermat auf andere Weise herzuleiten. Ausgangspunkt waren vielmehr empirische KQ-Untersuchungen, bei denen SP-Werte, Gruppenlagen und Faktorpositionen systematisch miteinander verglichen wurden.
Erst nachdem sich dabei die exakte Symmetrie bestimmter semiprimer Zahlen gezeigt hatte, wurde die Beziehung algebraisch reduziert. Dabei wurde sichtbar, dass die gefundene Klasse zugleich eine bereits aus der Fermat-Geometrie bekannte Extremkonstellation repräsentiert.
Gerade dieser Weg ist für die Arbeit wesentlich: Strukturbeobachtung, experimentelle Vermessung, funktionale Nutzung und anschließende algebraische Einordnung.
Was daraus offenbleibt
Die SPeQ-Semiprimes bilden nur einen klar abgegrenzten Bereich innerhalb des wesentlich größeren semiprimen Produktraums.
Die KQ-Analyse zeigt jedoch auch außerhalb dieser Klasse weiterhin Strukturparameter wie Tq, Tp, GP, SP und die jeweilige Gruppenlage. Damit bleibt die Frage offen, welche Informationen diese Größen über semiprime Zahlen liefern, wenn die unmittelbare SPeQ-Bedingung nicht mehr erfüllt ist.
Insbesondere der Zusammenhang zwischen SP, Faktorabstand, Gruppenlage und unterschiedlichen Größenverhältnissen von p und q bietet einen weiterführenden Untersuchungsraum.
Das Paper versteht SPeQ deshalb nicht als Endpunkt der Faktorisierungsanalyse, sondern als ersten besonders deutlich sichtbaren Spezialfall einer möglicherweise umfangreicheren strukturellen Ordnung semiprimer Zahlen.
Publikationsdaten
Autor: Achim Meißner
Titel: Geometrien des Faktorisierungsproblems: Ein analytischer Zugang über KQ-Gruppen
Untertitel: Zur funktionalen Nutzbarmachung strukturierter Gruppierungsräume
für Faktorisierungsfragen
Veröffentlichung: 2025
Publikationsplattform: Zenodo
DOI:
10.5281/zenodo.16318813
Lizenz: Creative Commons CC BY-NC 4.0 International
Sprache: Deutsch
Zitierweise:
A. Meißner: Geometrien des Faktorisierungsproblems: Ein analytischer Zugang über KQ-Gruppen. Zur funktionalen Nutzbarmachung strukturierter Gruppierungsräume für Faktorisierungsfragen. DOI: 10.5281/zenodo.16318813, 2025.